Algèbre Exemples

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 2^{2}}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $x y + 3 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y x + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.4.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y x + y \cdot 3}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 3$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.5

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} - 2 a$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a \cdot a - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.5.2

Factorisez $a$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a \cdot a + a \cdot - 2} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.5.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a + a \cdot - 2$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a (a - 2)} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $a - 2$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $a - 2$ à partir de $(a + 2) (a - 2)$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a (a - 2)} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.6.2

Factorisez $a - 2$ à partir de $a (a - 2)$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{(a - 2) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{(a - 2) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $y (x + 3)$ .

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 2}{x - 3} \cdot \frac{y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{a + 2}{x - 3}$ par $\frac{y}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 - y}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{2 - y}{x - 3} \cdot \frac{a}{a}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 - y}{x - 3}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{(2 - y) a}{(x - 3) a}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a + 2) y + (2 - y) a}{(x - 3) a}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a y + 2 y + (2 - y) a}{(x - 3) a}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a y + 2 y + 2 a - y a}{(x - 3) a}$

Étape 4.3

Soustrayez $y a$ de $a y$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 y + 2 a + a y - 1 a y}{(x - 3) a}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $a y$ de $a y$ .

$\frac{2 y + 2 a + 0}{(x - 3) a}$

Étape 4.4

Additionnez $2 y + 2 a$ et $0$ .

$\frac{2 y + 2 a}{(x - 3) a}$

Étape 4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 a$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 2 a}{(x - 3) a}$

Étape 4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$\frac{2 (y) + 2 (a)}{(x - 3) a}$

Étape 4.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y) + 2 (a)$ .

$\frac{2 (y + a)}{(x - 3) a}$

Étape 5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 (y + a)}{(x - 3) a}$ .

$\frac{2 (y + a)}{a (x - 3)}$