Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x - 5) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.6

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Étape 2.5.8

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 2.5.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Étape 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 4, - 3, 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - x = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $6.\overline{285714}$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 10$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 1.6$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $1 < x \leq 4$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Étape 15