Algèbre Exemples

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1^{3}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})}$

Étape 1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ .

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - a) (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - a) (a + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (a + 1) - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{a + 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a + 1 - (a \cdot a) - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $a$ de $a$ .

$\frac{1 - a^{2} + 0 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- a^{2} + 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.3

Additionnez $- a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{0 + 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$