Algèbre Exemples

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{3} + b^{3}} - \frac{1}{a + b}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})} - \frac{1}{a + b}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}}$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})} - \frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{a + b}$ par $\frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}}$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})} - \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} + b^{2} - (a^{2} - a b + b^{2})}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} - (- a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.2

Multipliez $- (- a b)$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.2.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.3

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{b^{2} + 0 + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.4

Additionnez $b^{2}$ et $0$ .

$\frac{b^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.5

Soustrayez $b^{2}$ de $b^{2}$ .

$\frac{a b + 0}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$

Étape 4.6

Additionnez $a b$ et $0$ .

$\frac{a b}{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}$