Algèbre Exemples

$\frac{2 a + b}{2 a^{2} - a b} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2} - a b$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a) - a b} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a b$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a) + a (- 1 b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a (2 a) + a (- 1 b)$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - 1 b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{{(2 a)}^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a$ et $b = b$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Étape 1.3

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2} + a b$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a) + a b}$

Étape 1.3.2

Factorisez $a$ à partir de $a b$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a) + a (b)}$

Étape 1.3.3

Factorisez $a$ à partir de $a (2 a) + a (b)$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 a + b}{a (2 a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 a + b}{2 a + b}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{2 a + b}{2 a + b} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{2 a + b}{2 a + b} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a (2 a - b) (2 a + b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 a + b}{a (2 a - b)}$ par $\frac{2 a + b}{2 a + b}$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a - b) (2 a + b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a - b) (2 a + b)} - \frac{16 a \cdot a}{(2 a + b) (2 a - b) a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $a (2 a - b) (2 a + b)$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{16 a \cdot a}{(2 a + b) (2 a - b) a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(2 a + b) (2 a - b) a$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 a + b) (2 a + b) - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2 a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{1} (2 a + b) - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.2

Élevez $2 a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{1} {(2 a + b)}^{1} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(2 a + b)}^{1 + 1} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{2} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $16 a \cdot a$ comme ${(4 a)}^{2}$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{2} - {(4 a)}^{2}}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a + b$ et $b = 4 a$ .

$\frac{(2 a + b + 4 a) (2 a + b - (4 a))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.7

Simplifiez

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Étape 6.1.7.1

Additionnez $2 a$ et $4 a$ .

$\frac{(6 a + b) (2 a + b - (4 a))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{(6 a + b) (2 a + b - 4 a)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.1.7.3

Soustrayez $4 a$ de $2 a$ .

$\frac{(6 a + b) (- 2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $- 2 a + b$ et $2 a - b$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{(6 a + b) (- (2 a) + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$\frac{(6 a + b) (- (2 a) - 1 (- b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 a) - 1 (- b)$ .

$\frac{(6 a + b) (- (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2.4

Réécrivez $- (2 a - b)$ comme $- 1 (2 a - b)$ .

$\frac{(6 a + b) (- 1 (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(6 a + b) (- 1 (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(6 a + b) \cdot (- 1)}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $6 a + b$ .

$\frac{- 1 \cdot (6 a + b)}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 a + b}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (6 a + b) - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (6 a) - b - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 a - b - (2 a) - - b}{a (2 a + b)}$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a - - b}{a (2 a + b)}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- - b$ .

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Étape 8.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a + 1 b}{a (2 a + b)}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a + b}{a (2 a + b)}$

Étape 8.2

Associez les termes opposés dans $- 6 a - b - 2 a + b$ .

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Étape 8.2.1

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{- 6 a - 2 a + 0}{a (2 a + b)}$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 6 a - 2 a$ et $0$ .

$\frac{- 6 a - 2 a}{a (2 a + b)}$

Étape 8.3

Soustrayez $2 a$ de $- 6 a$ .

$\frac{- 8 a}{a (2 a + b)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 a}{a (2 a + b)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8}{2 a + b}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{2 a + b}$