Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ comme $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.8

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 8.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

Étape 8.1.10

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

Étape 8.1.11

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

Étape 8.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 8.3

Additionnez $\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Forme décimale :

$- 4.44151844 \dots$