Algèbre Exemples

$7 \sqrt{x} + 1 < 9$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $7 \sqrt{x}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 \sqrt{x} < 9 - 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$7 \sqrt{x} < 8$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(7 \sqrt{x})}^{2} < 8^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$49 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$49 x^{1} < 8^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$49 x < 8^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$49 x < 64$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $49 x < 64$ par $49$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $49 x < 64$ par $49$ .

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $49$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{64}{49}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $7 \sqrt{x} - 8$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{64}{49}$

$x > \frac{64}{49}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$7 \sqrt{- 2} + 1 < 9$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{64}{49}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{64}{49}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$7 \sqrt{1} + 1 < 9$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $8$ est inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{64}{49}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{64}{49}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$7 \sqrt{4} + 1 < 9$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $15$ n’est pas inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{64}{49}$ Vrai

$x > \frac{64}{49}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{64}{49}$ Vrai

$x > \frac{64}{49}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{64}{49}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < \frac{64}{49}$

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{64}{49})$

Étape 10