Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{3}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $x {(x + 2)}^{3}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 5) {(x + 2)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x (x + 2) (x + 5) (x + 2)}$

Étape 4.3

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2)) (x + 5)}$

Étape 4.4

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1}) (x + 5)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{1 + 1} (x + 5)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 5 - (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 5 - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x + 5 - x - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 6.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Étape 6.5

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$