Algèbre Exemples

$\frac{8 - x^{3}}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2^{3} - x^{3}}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{(2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Étape 1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2} + 100 - 100 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2}) + 100 - 100 x}$

Étape 2.1.2

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 25 \cdot 4 - 100 x}$

Étape 2.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 100 x$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 25 \cdot 4 + 25 (- 4 x)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2} + 25 \cdot 4$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} + 4) + 25 (- 4 x)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $25$ à partir de $25 (x^{2} + 4) + 25 (- 4 x)$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} + 4 - 4 x)}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réorganisez les termes.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 4 x + 4)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Étape 2.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 2.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- 1 (- 2) - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- 1 (- 2) - (x)) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 2) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x - 2$ à partir de $- 1 (x - 2) (4 + 2 x + x^{2})$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $25 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{(x - 2) (25 (x - 2))}$

Étape 3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{(x - 2) (25 (x - 2))}$

Étape 3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x - 2)}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 + 2 x + x^{2}}{25 (x - 2)}$