Algèbre Exemples

$\frac{4 - x}{x^{2} - 3 x} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{4 - x}{x \cdot x - 3 x} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{4 - x}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} - \frac{2 x + 7}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4 - x}{x (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{x (x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x {(x - 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4 - x}{x (x - 3)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x (x - 3) (x - 3)} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x ({(x - 3)}^{1} (x - 3))} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.3

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x {(x - 3)}^{1 + 1}} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x {(x - 3)}^{2}} - \frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2 x + 7}{{(x - 3)}^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x {(x - 3)}^{2}} - \frac{(2 x + 7) x}{{(x - 3)}^{2} x}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de ${(x - 3)}^{2} x$ .

$\frac{(4 - x) (x - 3)}{x {(x - 3)}^{2}} - \frac{(2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 - x) (x - 3) - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(4 - x) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x - 3) - x (x - 3) - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 3 - x (x - 3) - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 3 - x \cdot x - x \cdot - 3 - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{4 x - 12 - x \cdot x - x \cdot - 3 - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x - 12 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x - 12 - x^{2} - x \cdot - 3 - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 12 - x^{2} + 3 x - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $4 x$ et $3 x$ .

$\frac{7 x - 12 - x^{2} - (2 x + 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x - 12 - x^{2} + (- (2 x) - 1 \cdot 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{7 x - 12 - x^{2} + (- 2 x - 1 \cdot 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{7 x - 12 - x^{2} + (- 2 x - 7) x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x - 12 - x^{2} - 2 x \cdot x - 7 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{7 x - 12 - x^{2} - 2 (x \cdot x) - 7 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{7 x - 12 - x^{2} - 2 x^{2} - 7 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.8

Soustrayez $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{- 12 - x^{2} - 2 x^{2} + 0}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.9

Additionnez $- 12 - x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 12 - x^{2} - 2 x^{2}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.10

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 12 - 3 x^{2}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.11

Factorisez $3$ à partir de $- 12 - 3 x^{2}$ .

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Étape 6.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{3 (- 4) - 3 x^{2}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.11.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4) + 3 (- x^{2})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 6.11.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 4) + 3 (- x^{2})$ .

$\frac{3 (- 4 - x^{2})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{3 (- 1 (4) - x^{2})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (4) - (x^{2}))}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (4 + x^{2}))}{x {(x - 3)}^{2}}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (4 + x^{2})}{x {(x - 3)}^{2}}$