Algèbre Exemples

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Étape 2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 12$

$x = - 5$

$x = 3$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 12, - 5, 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{3} = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 8) - 12) ((- 8) + 5)}{{((- 8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 0.04507888$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) - 12) ((0) + 5)}{{((0) - 3)}^{3}} \leq 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $2.\overline{2}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((8) - 12) ((8) + 5)}{{((8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 0.416$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((14) - 12) ((14) + 5)}{{((14) - 3)}^{3}} \leq 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $0.02854996$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$3 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 3$ Faux

$3 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 5$ ou $3 < x \leq 12$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 5 or 3 < x \leq 12$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5] \cup (3, 12]$

Étape 13