Algèbre Exemples

$\frac{3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a^{3}$ .

$\frac{3 a (a^{2}) - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Étape 1.1.2

Factorisez $3 a$ à partir de $- 15 a^{2} b$ .

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Étape 1.1.3

Factorisez $3 a$ à partir de $12 a b^{2}$ .

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.1.4

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b)$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.1.5

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 4 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 1.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 a (a^{2} + 4 b^{2} - 5 a b)}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $4 b^{2}$ et $- 5 a b$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 a b$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$\frac{3 a (a^{2} + (- 1 - 4) (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 (a b) - 4 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 a b - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 a ((a^{2} - 1 a b) - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 a (a (a - 1 b) - 4 b (a - b))}{3 a^{2} b}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $a - 1 b$ .

$\frac{3 a ((a - 1 b) (a - 4 b))}{3 a^{2} b}$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a (a - b)) (a - 4 b)}{a^{2} b}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $a$ et $a^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $a$ à partir de $(a (a - b)) (a - 4 b)$ .

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a^{2} b}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} b$ .

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - b) (a - 4 b)}{a b}$

Étape 4

Développez $(a - b) (a - 4 b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a - 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Étape 5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Étape 5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b \cdot b}{a b}$

Étape 5.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 (b \cdot b)}{a b}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b^{2}}{a b}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a + 4 b^{2}}{a b}$

Étape 5.2

Soustrayez $b a$ de $- 4 a b$ .

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Étape 5.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - 1 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $a b$ de $- 4 a b$ .

$\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$ en deux fractions.

$\frac{a^{2} - 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{a^{2} - 5 a b}{a b}$ en deux fractions.

$\frac{a^{2}}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 8.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a b$ .

$\frac{a \cdot a}{a (b)} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 10.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $b^{2}$ et $b$ .

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Étape 11.1

Factorisez $b$ à partir de $4 b^{2}$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{a b}$

Étape 11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1

Factorisez $b$ à partir de $a b$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b}{a}$