Algèbre Exemples

$(2 \sqrt{8} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{8} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$(2 \sqrt{4 (2)} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{8} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{8} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$(2 (2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{8} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{8} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{4 (2)} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (6 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (6 (2 \sqrt{2}) + 7 \sqrt{5})$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (12 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5})$

Étape 2

Développez $(4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5}) (12 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{2} (12 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{2} (12 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{2} (12 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4 \sqrt{2} (12 \sqrt{2})$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $12$ par $4$ .

$48 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$48 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$48 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$48 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$48 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$48 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$48 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$48 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$48 \cdot 2^{1} + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$48 \cdot 2 + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.3

Multipliez $48$ par $2$ .

$96 + 4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.4

Multipliez $4 \sqrt{2} (7 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$96 + 28 \sqrt{2} \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$96 + 28 \sqrt{5 \cdot 2} + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.5

Multipliez $3 \sqrt{5} (12 \sqrt{2})$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{5} \sqrt{2} + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{2 \cdot 5} + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.5.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$

Étape 3.1.6

Multipliez $3 \sqrt{5} (7 \sqrt{5})$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Étape 3.1.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Étape 3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Étape 3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 {\sqrt{5}}^{2}$

Étape 3.1.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \cdot 5^{1}$

Étape 3.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 21 \cdot 5$

Étape 3.1.8

Multipliez $21$ par $5$ .

$96 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10} + 105$

Étape 3.2

Additionnez $96$ et $105$ .

$201 + 28 \sqrt{10} + 36 \sqrt{10}$

Étape 3.3

Additionnez $28 \sqrt{10}$ et $36 \sqrt{10}$ .

$201 + 64 \sqrt{10}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$201 + 64 \sqrt{10}$

Forme décimale :

$403.38577025 \dots$