Algèbre Exemples

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

Étape 2

Comme il y a

3

$3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus

3

$3$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines

(3 - 2)

$(3 - 2)$ .

Racines positives :

3

$3$ ou

1

$1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez

x

$x$ par

- x

$- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Étape 4

Simplifiez le polynôme.

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à

- x

$- x$ .

f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Étape 4.2.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

3

$3$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de produit à

- x

$- x$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1$

Étape 4.2.4

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1$

Étape 4.2.5

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

1

$1$ .

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

Étape 5

Comme il y a

0

$0$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus

0

$0$ racines négatives (règle des signes de Descartes).

Racines négatives :

0

$0$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est

3

$3$ ou

1

$1$ , et le nombre possible de racines négatives est

0

$0$ .

Racines positives :

3

$3$ ou

1

$1$

Racines négatives :

0

$0$