Algèbre Exemples

$x^{2} - y^{2} = 9$

Étape 1

Comme $x = r \cos (θ)$ , remplacez $x$ par $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 9$

Étape 2

Comme $y = r \sin (θ)$ , remplacez $y$ par $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 9$

Étape 3

Résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r \cos (θ)$ et $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 9$

Étape 3.1.1.2

Développez $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.1

Associez les termes opposés dans $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ et $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.1.2

Additionnez $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ et $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.1.3

Additionnez $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ et $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.1.1

Déplacez $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.2

Multipliez $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.4

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.4.1

Déplacez $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.4.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.5

Multipliez $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.2.5.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.5.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 9$

Étape 3.1.1.3.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 9$

Étape 3.1.1.3.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 9$

Étape 3.2

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $r^{2}$ à partir de $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 9$

Étape 3.2.2

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 9$

Étape 3.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (θ)$ et $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 9$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$ par $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$ par $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $r^{2}$ par $1$ .

$r^{2} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \pm \frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ par $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.4.2

Élevez $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Étape 3.6.4.3

Élevez $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Étape 3.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Étape 3.6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ comme $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ comme ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Étape 3.6.4.6.5

Simplifiez

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$