Algèbre Exemples

$g (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

Étape 2

Comme il y a $0$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $0$ racines positives (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $0$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 (- x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 9$

Étape 4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 (1 x^{2}) + 8 (- x) + 9$

Étape 4.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 (- x) + 9$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 9$

Étape 5

Comme il y a $4$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $4$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $4 - 2$ ).

Racines négatives : $4$ , $2$ , or $0$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $4$ , $2$ , or $0$ .

Racines positives : $0$

Racines négatives : $4$ , $2$ , or $0$