Algèbre Exemples

$V (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 7 x^{3} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x^{3} + 7 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $7 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 7 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + u - 3 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.1.7.1.1

Multipliez par $1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 1 u - 3 = 0$

Étape 2.1.7.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 2$ plus $3$

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3 = 0$

Étape 2.1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Étape 2.1.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 3 (u - 1) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 3) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 7 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x + 2 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 u + 2 u^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Étape 2.1.13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.13.2.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 u$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Étape 2.1.13.2.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3) = 0$

Étape 2.1.13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3) = 0$

Étape 2.1.13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3) = 0$

Étape 2.1.13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)) = 0$

Étape 2.1.13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 1) (u - 3)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, \frac{1}{2}, 3$

Étape 3