Exemples

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $16$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $4$ de $16$ .

$\sqrt{12}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 4, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(4, 0)$

Étape 6.4

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (4), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 4, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Étape 8.3.1.4

Soustrayez $4$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Étape 8.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème