Trigonometría Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Step 3

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Factoriza cada término.

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El valor exacto de $\sin (75)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Evalúa $\sin (20)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

Divide $0.34202014$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 a, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 a$

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ por $4 a$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ por $4 a$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Cancela el factor común de $4$ .

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Factoriza $4$ de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Cancela el factor común de $a$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $4$ por $0.08550503$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

Resuelve la ecuación.

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Reescribe la ecuación como $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Divide cada término en $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.34202014$ y simplifica.

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Divide cada término en $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.34202014$ .

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $0.34202014$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Evalúa la raíz.

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Divide $1.41421356$ por $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Evalúa la raíz.

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

Divide $2.44948974$ por $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

Suma $4.13488383$ y $7.16182888$ .

$a = 11.29671272$

Step 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$75 + C + 20 = 180$

Step 5

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Suma $75$ y $20$ .

$C + 95 = 180$

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $95$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 95$

Resta $95$ de $180$ .

$C = 85$

Step 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Step 8

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Factoriza cada término.

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Evalúa $\sin (85)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

El valor exacto de $\sin (75)$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Divide $75$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

Divide $1$ por $11.29671272$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ .

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Combina $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ y $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

Multiplica $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

Divide $0.34202014$ por $4$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$c$

Multiplica cada término en $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ por $c$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Multiplica cada término en $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ por $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $c$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Reescribe la expresión.

$0.99619469 = 0.08550503 c$

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Reescribe la ecuación como $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$0.08550503 c = 0.99619469$

Divide cada término en $0.08550503 c = 0.99619469$ por $0.08550503$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $0.08550503 c = 0.99619469$ por $0.08550503$ .

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $0.08550503$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0.99619469$ por $0.08550503$ .

$c = 11.65071376$