Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (t) + \cos (t) = 1$

Step 1

Sustituye $u$ por $\cos (t)$ .

$2 {(u)}^{2} + u = 1$

Step 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 5

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 6

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Step 8

Sustituye $\cos (t)$ por $u$ .

$\cos (t) = \frac{1}{2}, - 1$

Step 9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $t$ .

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

$\cos (t) = - 1$

Step 10

Resuelve $t$ en $\cos (t) = \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$t = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$t = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$t = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $3$ por $2$ .

$t = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (t)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Resuelve $t$ en $\cos (t) = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$t = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$t = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$t = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$t = π$

Obtén el período de $\cos (t)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (t)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$t = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Enumera todas las soluciones.

$t = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Consolida las respuestas.

$t = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$