Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Step 3

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Step 4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Step 5

Resuelve $θ$

Toca para ver más pasos...

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Divide cada término en $2 θ = \frac{11 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $2 θ = \frac{11 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Step 6

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 7

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Suma $\frac{π}{12}$ y $0$ .

$\frac{π}{12}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

Suma $\frac{11 π}{12}$ y $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Suma $π$ y $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

Suma $11 π$ y $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$