Trigonometría Ejemplos

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Step 2

Divide cada término en $4 \sin^{2} (x) = 3$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 \sin^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Step 3

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Step 4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Suma $\frac{π}{3}$ y $0$ .

$\frac{π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

Simplifica.

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Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Suma $π$ y $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Simplifica.

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Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Suma $2 π$ y $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$