Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Reemplaza $2 \cos^{2} (x)$ con $2 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Resta $1$ de $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Step 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2} - u + 1$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Step 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 7

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 8

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Step 10

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Step 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Step 12

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 13

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Factoriza $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Divide $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Simplifica.

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Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

Toca para ver más pasos...

Inserta $2$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Suma $π$ y $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Factoriza $3$ de $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{3 π}{2}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$