Trigonometría Ejemplos

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $arcsec (- 2)$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Step 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Step 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Step 5

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 6

Resuelve $θ$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Step 7

Obtén el período de $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{3}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

$\frac{3}{2}$ es aproximadamente $1.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Multiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

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Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Combina $\frac{4}{3}$ y $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Step 8

El período de la función $\sec (\frac{3 θ}{2})$ es $\frac{4 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{4 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Simplifica.

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Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Factoriza $3$ de $4 π (0)$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Divide $4 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Multiplica $4 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Suma $\frac{4 π}{9}$ y $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Simplifica.

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Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $4 π (0)$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Cancela el factor común.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Divide $4 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Multiplica $4 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Suma $\frac{8 π}{9}$ y $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Simplifica.

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Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Para escribir $\frac{4 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Suma $4 π$ y $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$