Trigonometría Ejemplos

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Como $4$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ con respecto a $θ$ es $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Diferencia.

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Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $\frac{3 θ}{2}$ con respecto a $θ$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

Simplifica los términos.

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Combina $\frac{3}{2}$ y $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Combina $\frac{- 12}{2}$ y $\sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Divide $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Como $- 6$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ con respecto a $θ$ es $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $\frac{3 θ}{2}$ con respecto a $θ$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

Simplifica los términos.

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Combina $\frac{3}{2}$ y $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Combina $\frac{- 18}{2}$ y $\cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Cancela el factor común de $- 18$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Cancela el factor común.

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Reescribe la expresión.

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Divide $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Step 4

Divide cada término en $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ por $- 6$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 6$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Divide $\sin (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 6$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Step 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

Step 6

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{3 θ}{2} = 0$

Step 7

Establece el numerador igual a cero.

$3 θ = 0$

Step 8

Divide cada término en $3 θ = 0$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 θ = 0$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $3$ .

$θ = 0$

Step 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

Step 10

Resuelve $θ$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Cancela el factor común de $3$ .

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Factoriza $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Resta $0$ de $π$ .

$θ = \frac{2}{3} π$

Combina $\frac{2}{3}$ y $π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Step 11

La solución a la ecuación $\frac{3 θ}{2} = 0$ .

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $θ = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $3 (0)$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Cancela el factor común.

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Reescribe la expresión.

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Divide $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 9 \cos (0)$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 9 \cdot 1$

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Step 14

$θ = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$θ = 0$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $θ = 0$ .

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Reemplaza la variable $θ$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $3 (0)$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Cancela el factor común.

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Reescribe la expresión.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Divide $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (0) = 4$

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Step 16

Evalúa la segunda derivada en $θ = \frac{2 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Step 17

Evalúa la segunda derivada.

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Combina $3$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Reduce la expresión $\frac{6 π}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $6 π$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Cancela el factor común.

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Reescribe la expresión.

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Divide $2 π$ por $1$ .

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Divide $π$ por $1$ .

$- 9 \cos (π)$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 9 (- \cos (0))$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $- 9 (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 9 \cdot - 1$

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$9$

Step 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$θ = \frac{2 π}{3}$ es un mínimo local

Step 19

Obtén el valor de y cuando $θ = \frac{2 π}{3}$ .

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Reemplaza la variable $θ$ con $\frac{2 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Simplifica el resultado.

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Combina $3$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Reduce la expresión $\frac{6 π}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Divide $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Divide $π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Estos son los extremos locales de $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$(0, 4)$ es un máximo local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ es un mínimo local

Step 21