Trigonometría Ejemplos

$y = e^{x - 1}$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = e^{y - 1}$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Expande el lado izquierdo.

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Expande $\ln (e^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (x) + 1$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ es la inversa de $f (x) = e^{x - 1}$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (e^{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Simplifica cada término.

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Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\ln (x) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Combina los términos opuestos en $(\ln (x) + 1) - 1$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ es la inversa de $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$