Trigonometría Ejemplos

$y = 3 x^{2} + 4$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = 3 y^{2} + 4$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $3 y^{2} + 4 = x$ .

$3 y^{2} + 4 = x$

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} = x - 4$

Divide cada término en $3 y^{2} = x - 4$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 y^{2} = x - 4$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{4}{3}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{4}{3}}$ .

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 4}{3}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{x - 4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 4} \sqrt{3}}{3}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 4) \cdot 3}}{3}$

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x - 4) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[4, \infty)$

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{3 (x - 4)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (x - 4) \geq 0$

Resuelve $x$

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Divide cada término en $3 (x - 4) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 (x - 4) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 4)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 \geq \frac{0}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $3$ .

$x - 4 \geq 0$

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 4$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[4, \infty)$

Obtén el dominio de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ .

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ es el rango de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ es el dominio de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 4)}}{3}$

Step 5