Trigonometría Ejemplos

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Step 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $- \frac{1}{3}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = - \frac{1}{3}$

Step 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Step 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 1$ y $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Step 4

Multiplica ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Step 5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Step 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Step 7

Combina ${(- 1)}^{n - 1}$ y $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Step 8

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Step 9

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Step 10

Multiplica $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ por $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Step 11

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por $3$ .

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Multiplica $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Combinar.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Step 12

Aplica la propiedad distributiva.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Step 13

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Step 14

Simplifica el numerador.

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Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Cancela el factor común de $3$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ al numerador.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Factoriza $3$ de $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Combina $- 3$ y $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 3$ por $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Resta $243$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Step 15

Simplifica el denominador.

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Multiplica $3$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Resta $3$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Step 16

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Step 17

Cancela el factor común de $4$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{244}{81}$ al numerador.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Factoriza $4$ de $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Step 18

Multiplica $\frac{- 61}{81}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Step 19

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Step 20

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{5} = \frac{61}{81}$