Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3^{x} - 1$

Step 1

Escribe $f (x) = 3^{x} - 1$ como una ecuación.

$y = 3^{x} - 1$

Step 2

Intercambia las variables.

$x = 3^{y} - 1$

Step 3

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $3^{y} - 1 = x$ .

$3^{y} - 1 = x$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{y} = x + 1$

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

Expande $\ln (3^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Step 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x} - 1$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

Combina los términos opuestos en $3^{x} - 1 + 1$ .

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Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Suma $3^{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

Simplifica cada término.

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Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$