Trigonometría Ejemplos

$4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$

Step 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Completa el cuadrado de $4 x^{2} + 16 x$ .

Toca para ver más pasos...

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{4}$

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Divide $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16$

Sustituye $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} + 16 x$ en la ecuación $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16 + 25 y^{2} - 50 y = 59$

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 y^{2} - 50 y = 59 + 16$

Completa el cuadrado de $25 y^{2} - 50 y$ .

Toca para ver más pasos...

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 50$

$c = 0$

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 50}{2 \cdot 25}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $- 50$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 (25)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 25}{25}$

Cancela el factor común de $- 25$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 (1)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 50)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 50$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2500}{4 \cdot 25}$

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{2500}{100}$

Divide $2500$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Resta $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ .

$25 {(y - 1)}^{2} - 25$

Sustituye $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ por $25 y^{2} - 50 y$ en la ecuación $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} - 25 = 59 + 16$

Mueve $- 25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 59 + 16 + 25$

Simplifica $59 + 16 + 25$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $59$ y $16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 75 + 25$

Suma $75$ y $25$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 100$

Divide cada término por $100$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{25 {(y - 1)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Step 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 2$

Step 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Resta $4$ de $25$ .

$\sqrt{21}$

Step 5

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2 - (\sqrt{21}), 1)$

Simplifica.

$(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Step 6