Trigonometría Ejemplos

9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Step 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

Toca para ver más pasos...

Resta

18

$18$ de ambos lados de la ecuación.

9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Completa el cuadrado de

9 x^{2} - 36 x

$9 x^{2} - 36 x$ .

Toca para ver más pasos...

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = 9

$a = 9$

b = - 36

$b = - 36$

c = 0

$c = 0$

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

- 36

$- 36$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza

2

$2$ de

- 36

$- 36$ .

d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza

2

$2$ de

2 \cdot 9

$2 \cdot 9$ .

d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Cancela el factor común.

d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 18}{9}

$d = \frac{- 18}{9}$

d = \frac{- 18}{9}

$d = \frac{- 18}{9}$

d = \frac{- 18}{9}

$d = \frac{- 18}{9}$

Cancela el factor común de

- 18

$- 18$ y

9

$9$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza

9

$9$ de

- 18

$- 18$ .

d = \frac{9 \cdot - 2}{9}

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza

9

$9$ de

9

$9$ .

d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Cancela el factor común.

d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

Divide

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva

- 36

$- 36$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Multiplica

4

$4$ por

9

$9$ .

e = 0 - \frac{1296}{36}

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Divide

1296

$1296$ por

36

$36$ .

e = 0 - 1 \cdot 36

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Multiplica

- 1

$- 1$ por

36

$36$ .

e = 0 - 36

$e = 0 - 36$

e = 0 - 36

$e = 0 - 36$

Resta

36

$36$ de

0

$0$ .

e = - 36

$e = - 36$

e = - 36

$e = - 36$

e = - 36

$e = - 36$

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

9 {(x - 2)}^{2} - 36

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

9 {(x - 2)}^{2} - 36

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

9 {(x - 2)}^{2} - 36

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Sustituye

9 {(x - 2)}^{2} - 36

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$ por

9 x^{2} - 36 x

$9 x^{2} - 36 x$ en la ecuación

9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Mueve

- 36

$- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

36

$36$ a ambos lados.

9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Completa el cuadrado de

- y^{2} - 6 y

$- y^{2} - 6 y$ .

Toca para ver más pasos...

Usa la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 6

$b = - 6$

c = 0

$c = 0$

Considera la forma de vértice de una parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de

d

$d$ con la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de

- 6

$- 6$ y

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza

2

$2$ de

- 6

$- 6$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Mueve el negativo del denominador de

\frac{- 3}{- 1}

$\frac{- 3}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 3

$d = - 1 \cdot - 3$

d = - 1 \cdot - 3

$d = - 1 \cdot - 3$

Reescribe

- 1 \cdot - 3

$- 1 \cdot - 3$ como

- - 3

$- - 3$ .

d = - - 3

$d = - - 3$

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 3

$- 3$ .

d = 3

$d = 3$

d = 3

$d = 3$

d = 3

$d = 3$

Obtén el valor de

e

$e$ con la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Sustituye los valores de

c

$c$ ,

b

$b$ y

a

$a$ en la fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Eleva

- 6

$- 6$ a la potencia de

2

$2$ .

e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Multiplica

4

$4$ por

- 1

$- 1$ .

e = 0 - \frac{36}{- 4}

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Divide

36

$36$ por

- 4

$- 4$ .

e = 0 - - 9

$e = 0 - - 9$

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 9

$- 9$ .

e = 0 + 9

$e = 0 + 9$

e = 0 + 9

$e = 0 + 9$

Suma

0

$0$ y

9

$9$ .

e = 9

$e = 9$

e = 9

$e = 9$

e = 9

$e = 9$

Sustituye los valores de

a

$a$ ,

d

$d$ y

e

$e$ en la forma de vértice

- {(y + 3)}^{2} + 9

$- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

- {(y + 3)}^{2} + 9

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

- {(y + 3)}^{2} + 9

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Sustituye

- {(y + 3)}^{2} + 9

$- {(y + 3)}^{2} + 9$ por

- y^{2} - 6 y

$- y^{2} - 6 y$ en la ecuación

9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Mueve

9

$9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de

9

$9$ a ambos lados.

9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Simplifica

- 18 + 36 - 9

$- 18 + 36 - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Suma

- 18

$- 18$ y

36

$36$ .

9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Resta

9

$9$ de

18

$18$ .

9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Divide cada término por

9

$9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

{(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

{(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Step 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen,

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 3

$b = 3$

k = - 3

$k = - 3$

h = 2

$h = 2$

Step 4

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + {(3)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{1 + 9}

$\sqrt{1 + 9}$

Suma

1

$1$ y

9

$9$ .

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

Step 5

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(2 + \sqrt{10}, - 3)

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

c

$c$ de

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(2 - \sqrt{10}, - 3)

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

Los focos de una hipérbola siguen la forma de

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

Step 6