Trigonometría Ejemplos

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

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Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x - 0.5)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x - 0.5$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 0.5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Suma $1$ y $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Multiplica $\cos (x - 0.5)$ por $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Suma $- 4 \cos (x - 0.5)$ y $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \cos (x - 0.5)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x - 0.5$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Diferencia.

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Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 0.5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Simplifica la expresión.

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Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Step 4

Divide cada término en $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ por $- 4$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Divide $\cos (x - 0.5)$ por $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Step 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Step 6

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Step 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $0.5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Suma $\frac{π}{2}$ y $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Step 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Step 9

Resuelve $x$

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Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $0.5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Suma $\frac{3 π}{2}$ y $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Step 10

La solución a la ecuación $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Step 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 2.07079632$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Step 12

Resta $0.5$ de $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Step 13

$x = 2.07079632$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2.07079632$ es un mínimo local

Step 14

Obtén el valor de y cuando $x = 2.07079632$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $2.07079632$ en la expresión.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Simplifica el resultado.

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Resta $0.5$ de $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

La respuesta final es $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Step 15

Evalúa la segunda derivada en $x = 5.21238898$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Step 16

Resta $0.5$ de $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Step 17

$x = 5.21238898$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 5.21238898$ es un máximo local

Step 18

Obtén el valor de y cuando $x = 5.21238898$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $5.21238898$ en la expresión.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Simplifica el resultado.

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Resta $0.5$ de $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

La respuesta final es $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Step 19

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ es un mínimo local

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ es un máximo local

Step 20