Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (2 x - π) + 2$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (2 x - π) + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x - π)]$ .

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (2 x - π)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x - π$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - π$ .

$2 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 (\cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (\cos (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Suma $2$ y $0$ .

$2 (\cos (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2]$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x - π)$ .

$2 (2 \cdot \cos (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [2]$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos (2 x - π) + \frac{d}{d x} [2]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \cos (2 x - π) + 0$

Suma $4 \cos (2 x - π)$ y $0$ .

$4 \cos (2 x - π)$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (2 x - π)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x - π))$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x - π$ .

Toca para ver más pasos...

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Diferencia.

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Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\sin (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) (2 + 0)$

Simplifica la expresión.

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Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x - π) \cdot 2$

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x - π)$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 \cos (2 x - π) = 0$

Step 4

Divide cada término en $4 \cos (2 x - π) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 \cos (2 x - π) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Divide $\cos (2 x - π)$ por $1$ .

$\cos (2 x - π) = \frac{0}{4}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $4$ .

$\cos (2 x - π) = 0$

Step 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x - π = \arccos (0)$

Step 6

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x - π = \frac{π}{2}$

Step 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{π}{2} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Suma $π$ y $2 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Step 8

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Step 9

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Step 10

Resuelve $x$

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Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x - π = \frac{3 π}{2}$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{3 π}{2} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$2 x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Suma $3 π$ y $2 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{2}$

Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = \frac{5 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Step 11

La solución a la ecuación $2 x - π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - π)$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)} - π)$

Cancela el factor común.

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - π)$

Reescribe la expresión.

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} - π)$

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Resta $2 π$ de $3 π$ .

$- 8 \sin (\frac{π}{2})$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 8 \cdot 1$

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Step 14

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - π) + 2$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) + 2$

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) + 2$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} - π) + 2$

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 2$

Resta $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 1 + 2$

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 + 2$

Suma $2$ y $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Step 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - π)$

Step 17

Evalúa la segunda derivada.

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Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{5 π}{2 (2)} - π)$

Cancela el factor común.

$- 8 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - π)$

Reescribe la expresión.

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} - π)$

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Combina fracciones.

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Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 8 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2})$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 8 \cdot - 1$

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$8$

Step 18

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local

Step 19

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - π) + 2$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) + 2$

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) + 2$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π) + 2$

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Combina $- π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 2$

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot - 1 + 2$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 2 + 2$

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Step 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \sin (2 x - π) + 2$ .

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{4}, 0)$ es un mínimo local

Step 21