Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) - 1$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

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Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Divide $- \sin (2 x)$ por $1$ .

$- \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (2 x) + 0$

Suma $- \sin (2 x)$ y $0$ .

$- \sin (2 x)$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Diferencia.

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Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \cdot 1$

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x)$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \sin (2 x) = 0$

Step 4

Divide cada término en $- \sin (2 x) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- \sin (2 x) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 1$ .

$\sin (2 x) = 0$

Step 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Step 6

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Step 7

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Step 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - 0$

Step 9

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Suma $π$ y $0$ .

$2 x = π$

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Step 10

La solución a la ecuación $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Step 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (2 (0))$

Step 12

Evalúa la segunda derivada.

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Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 \cos (0)$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Step 13

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Step 14

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (0)) - 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 1$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (0) = \frac{1 - 2}{2}$

Resta $2$ de $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Step 15

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Step 16

Evalúa la segunda derivada.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$- 2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Reescribe la expresión.

$- 2 \cos (π)$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 (- \cos (0))$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Step 17

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Step 18

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 1$

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) - 1$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) - 1$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 - 1$

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} - 1$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{3}{2}$

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Step 19

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ .

$(0, - \frac{1}{2})$ es un máximo local

$(\frac{π}{2}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

Step 20