Trigonometría Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 2 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

Obtén $c$ .

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El coseno de un ángulo es igual a la razón del lado opuesto a la hipotenusa.

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Sustituye el nombre de cada lado en la definición de la función de seno.

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Establece la ecuación para resolver la hipotenusa, en este caso $c$ .

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Sustituye los valores de cada variable en la fórmula para el seno.

$c = \frac{2}{\sin (60)}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$c = 2 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 2 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Suma $1$ y $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Reescribe la expresión.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Evalúa el exponente.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Multiplica $2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Combina $2$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$c = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$c = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Step 2

Obtén el último lado del triángulo con el teorema de Pitágoras.

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Usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado desconocido. En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos patas (los dos lados que no son la hipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Resuelve la ecuación en $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Sustituye los valores reales en la ecuación.

$a = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Simplifica el numerador.

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Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{\frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Reescribe la expresión.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Evalúa el exponente.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{9} - {(2)}^{2}}$

Multiplica $16$ por $3$ .

$a = \sqrt{\frac{48}{9} - {(2)}^{2}}$

Cancela el factor común de $48$ y $9$ .

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Factoriza $3$ de $48$ .

$a = \sqrt{\frac{3 (16)}{9} - {(2)}^{2}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $3$ de $9$ .

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} - {(2)}^{2}}$

Cancela el factor común.

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} - {(2)}^{2}}$

Reescribe la expresión.

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - {(2)}^{2}}$

Simplifica la expresión.

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Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 1 \cdot 4}$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 4}$

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \sqrt{\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 4$ por $3$ .

$a = \sqrt{\frac{16 - 12}{3}}$

Resta $12$ de $16$ .

$a = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Evalúa el exponente.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Step 3

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$b = 2$

$c = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$