Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

Step 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

Step 2

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (θ) - 1$ .

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

Step 4

Establece $2 \cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $2 \cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Resuelve $2 \cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (θ) = 1$

Divide cada término en $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $60$ .

$θ = 60$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 360 - 60$

Resta $60$ de $360$ .

$θ = 300$

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\cos (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $\cos (θ) + 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\cos (θ) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (θ) + 1 = 0$

Resuelve $\cos (θ) + 1 = 0$ en $θ$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (θ) = - 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $180$ .

$θ = 180$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $360$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 360 - 180$

Resta $180$ de $360$ .

$θ = 180$

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\cos (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 180 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ verdadera.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida las respuestas.

$θ = 60 + 120 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 360]$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 360]$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$60 + 120 (0)$

Simplifica.

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Multiplica $120$ por $0$ .

$60 + 0$

Suma $60$ y $0$ .

$60$

El intervalo $[0, 360]$ contiene $60$ .

$θ = 60$

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 360]$ .

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Inserta $1$ en $n$ .

$60 + 120 (1)$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $120$ por $1$ .

$60 + 120$

Suma $60$ y $120$ .

$180$

El intervalo $[0, 360]$ contiene $180$ .

$θ = 60, 180$

Inserta $2$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 360]$ .

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Inserta $2$ en $n$ .

$60 + 120 (2)$

Simplifica.

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Multiplica $120$ por $2$ .

$60 + 240$

Suma $60$ y $240$ .

$300$

El intervalo $[0, 360]$ contiene $300$ .

$θ = 60, 180, 300$