Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \sin (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (θ)$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Factoriza $- 3$ de $- 3 u$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) - (2 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

Step 3

Establece $2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Resuelve $2 \sin (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = 1$

Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\sin (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $\sin (θ) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Resuelve $\sin (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (θ) = 1$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{2}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Suma $\frac{5 π}{6}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$