Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

Step 1

Escribe $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ como una ecuación.

$y = 2^{x - 1} + 1$

Step 2

Intercambia las variables.

$x = 2^{y - 1} + 1$

Step 3

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $2^{y - 1} + 1 = x$ .

$2^{y - 1} + 1 = x$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{y - 1} = x - 1$

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

Expande $\ln (2^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $(y - 1) \ln (2)$ .

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Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

Suma $\ln (x - 1)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Reescribe la expresión.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Step 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

Combina los términos opuestos en $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

Suma $2^{x - 1}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Simplifica cada término.

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Expande $\ln (2^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

Combina los términos opuestos en $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

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Resta $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Suma $0$ y $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Simplifica cada término.

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Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Suma $- 1$ y $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$