Trigonometría Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 15 \\ B = & 113 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Step 3

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Factoriza cada término.

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El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Separa la negación.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Evalúa $\sin (113)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.92050485}{7}$

Divide $0.92050485$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 a, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 a$

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ por $4 a$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ por $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.13150069 (4 a)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Cancela el factor común de $4$ .

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Factoriza $4$ de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.13150069 (4 a)$

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Cancela el factor común de $a$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.13150069 (4 a)$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $4$ por $0.13150069$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.52600277 a$

Resuelve la ecuación.

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Reescribe la ecuación como $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Divide cada término en $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.52600277$ y simplifica.

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Divide cada término en $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.52600277$ .

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $0.52600277$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Evalúa la raíz.

$a = \frac{2.44948974}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Divide $2.44948974$ por $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = 4.65680005 - \frac{\sqrt{2}}{0.52600277}$

Evalúa la raíz.

$a = 4.65680005 - \frac{1.41421356}{0.52600277}$

Divide $1.41421356$ por $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 - 1 \cdot 2.68860476$

Multiplica $- 1$ por $2.68860476$ .

$a = 4.65680005 - 2.68860476$

Resta $2.68860476$ de $4.65680005$ .

$a = 1.96819528$

Step 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$15 + C + 113 = 180$

Step 5

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Suma $15$ y $113$ .

$C + 128 = 180$

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $128$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 128$

Resta $128$ de $180$ .

$C = 52$

Step 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (52)}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Step 8

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Factoriza cada término.

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Evalúa $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{1.96819528}$

Separa la negación.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{1.96819528}$

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{1.96819528}$

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{1.96819528}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{1.96819528}$

Divide $1$ por $1.96819528$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$ .

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Combina $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ y $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.50807966}{4}$

Multiplica $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{0.52600277}{4}$

Divide $0.52600277$ por $4$ .

$\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 1$

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$c$

Multiplica cada término en $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ por $c$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Multiplica cada término en $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ por $c$ .

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $c$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Reescribe la expresión.

$0.78801075 = 0.13150069 c$

Resuelve la ecuación.

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Reescribe la ecuación como $0.13150069 c = 0.78801075$ .

$0.13150069 c = 0.78801075$

Divide cada término en $0.13150069 c = 0.78801075$ por $0.13150069$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Divide cada término en $0.13150069 c = 0.78801075$ por $0.13150069$ .

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $0.13150069$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0.78801075$ por $0.13150069$ .

$c = 5.99244561$

Step 9

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 15$

$B = 113$

$C = 52$

$a = 1.96819528$

$b = 7$

$c = 5.99244561$