Trigonometría Ejemplos

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Step 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Step 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Step 3

Sustituye los valores reales de $a = 4 \sqrt{3}$ y $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Step 4

Obtén $| z |$ .

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Simplifica la expresión.

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Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $16$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Suma $16$ y $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Step 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Step 6

Como la tangente inversa de $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Step 7

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{6}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Step 8

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$