Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{3} \sec (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3} \sec (θ) = 2$

Step 2

Divide cada término en $\sqrt{3} \sec (θ) = 2$ por $\sqrt{3}$ y simplifica.

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Divide cada término en $\sqrt{3} \sec (θ) = 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sec (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \sec (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Divide $\sec (θ)$ por $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Step 3

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Step 4

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Step 5

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Step 6

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Step 7

Obtén el período de $\sec (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 8

El período de la función $\sec (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{11 π}{6} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{11 π}{6} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{11 π}{6} + 0$

Suma $\frac{11 π}{6}$ y $0$ .

$\frac{11 π}{6}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$