Trigonometría Ejemplos

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Step 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{6} + 7 x - 80$ .

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Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = - 80$

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica el denominador.

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Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Combina $- 2$ y $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Multiplica $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$d = - 21$

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 80 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = - 80 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Simplifica el denominador.

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Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $6$ .

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Cancela el factor común.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Reescribe la expresión.

$e = - 80 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 80 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 80 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Multiplica $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Multiplica $- 1$ por $49$ .

$e = - 80 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Combina $- 49$ y $\frac{3}{2}$ .

$e = - 80 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Multiplica $- 49$ por $3$ .

$e = - 80 - \frac{- 147}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 80 - - \frac{147}{2}$

Multiplica $- - \frac{147}{2}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 80 + 1 (\frac{147}{2})$

Multiplica $\frac{147}{2}$ por $1$ .

$e = - 80 + \frac{147}{2}$

Para escribir $- 80$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 80 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2}$

Combina $- 80$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 80 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 80 \cdot 2 + 147}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $- 80$ por $2$ .

$e = \frac{- 160 + 147}{2}$

Suma $- 160$ y $147$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{13}{2}$

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} - \frac{13}{2}$

Step 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 21$

$k = - \frac{13}{2}$

Step 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(21, - \frac{13}{2})$

Step 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Simplifica.

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Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Step 5

Obtén la directriz.

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La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 5$

Step 6