Trigonometría Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Step 3

Resuelve la ecuación en $a$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza cada término.

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El valor exacto de $\sin (30 °)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

El valor exacto de $\sin (90 °)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 a, 12$

Como $2 a, 12$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 12$ y luego el MCM para la parte variable $a^{1}$ .

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Los factores primos para $12$ son $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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$12$ tiene factores de $2$ y $6$ .

$2 \cdot 6$

$6$ tiene factores de $2$ y $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Multiplica $4$ por $3$ .

$12$

El factor para $a^{1}$ es $a$ en sí mismo.

$a^{1} = a$

$a$ ocurre $1$ vez.

El MCM de $a^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a$

El MCM para $2 a, 12$ es la parte numérica $12$ multiplicada por la parte variable.

$12 a$

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ por $12 a$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ por $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Cancela el factor común.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Reescribe la expresión.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Combina $6$ y $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Cancela el factor común de $a$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Reescribe la expresión.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $12$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $12$ de $12 a$ .

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Cancela el factor común.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Reescribe la expresión.

$6 = a$

Reescribe la ecuación como $a = 6$ .

$a = 6$

Step 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 5

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $b$ .

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Step 6

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Factoriza cada término.

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El valor exacto de $\sin (60 °)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

El valor exacto de $\sin (30 °)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 b, 12$

Como $2 b, 12$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 12$ y luego el MCM para la parte variable $b^{1}$ .

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Los factores primos para $12$ son $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

$12$ tiene factores de $2$ y $6$ .

$2 \cdot 6$

$6$ tiene factores de $2$ y $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Multiplica $4$ por $3$ .

$12$

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

El MCM de $b^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b$

El MCM para $2 b, 12$ es la parte numérica $12$ multiplicada por la parte variable.

$12 b$

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ por $12 b$ para eliminar las fracciones.

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Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ por $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Factoriza $2$ de $2 b$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Cancela el factor común.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Reescribe la expresión.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Combina $6$ y $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Cancela el factor común de $b$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Reescribe la expresión.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $12$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $12$ de $12 b$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Cancela el factor común.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Reescribe la expresión.

$6 \sqrt{3} = b$

Reescribe la ecuación como $b = 6 \sqrt{3}$ .

$b = 6 \sqrt{3}$

Step 7

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$