Trigonometría Ejemplos

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Según la regla de la suma, la derivada de $4 \cos (2 x - π) - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)]$ .

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Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (2 x - π)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x - π$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - π$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - π$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Suma $2$ y $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (- 2 \sin (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Diferencia con la regla de la constante.

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Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + 0$

Suma $- 8 \sin (2 x - π)$ y $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π)$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \sin (2 x - π)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$g'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x - π$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

Diferencia.

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Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Multiplica $2$ por $1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

Simplifica la expresión.

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Suma $2$ y $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) \cdot 2$

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$g'' (x) = - 16 \cos (2 x - π)$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$

Step 4

Divide cada término en $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ por $- 8$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 8$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Divide $\sin (2 x - π)$ por $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 8}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 8$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

Step 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x - π = \arcsin (0)$

Step 6

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 x - π = 0$

Step 7

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = π$

Step 8

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Step 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x - π = π - 0$

Step 10

Resuelve $x$

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Resta $0$ de $π$ .

$2 x - π = π$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = π + π$

Suma $π$ y $π$ .

$2 x = 2 π$

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Step 11

La solución a la ecuación $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Step 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 16 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Step 13

Evalúa la segunda derivada.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$- 16 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

Reescribe la expresión.

$- 16 \cos (π - π)$

Resta $π$ de $π$ .

$- 16 \cos (0)$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 16 \cdot 1$

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$- 16$

Step 14

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Step 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

Reescribe la expresión.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (π - π) - 2$

Resta $π$ de $π$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (0) - 2$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 - 2$

Multiplica $4$ por $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 - 2$

Resta $2$ de $4$ .

$g (\frac{π}{2}) = 2$

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Step 16

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 16 \cos (2 (π) - π)$

Step 17

Evalúa la segunda derivada.

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Resta $π$ de $2 π$ .

$- 16 \cos (π)$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 16 (- \cos (0))$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $- 16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 16 \cdot - 1$

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$16$

Step 18

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Step 19

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$g (π) = 4 \cos (2 (π) - π) - 2$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Resta $π$ de $2 π$ .

$g (π) = 4 \cos (π) - 2$

$g (π) = 4 (- \cos (0)) - 2$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$g (π) = 4 (- 1 \cdot 1) - 2$

Multiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Multiplica $- 1$ por $1$ .

$g (π) = 4 \cdot - 1 - 2$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$g (π) = - 4 - 2$

Resta $2$ de $- 4$ .

$g (π) = - 6$

La respuesta final es $- 6$ .

$y = - 6$

Step 20

Estos son los extremos locales de $g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ es un máximo local

$(π, - 6)$ es un mínimo local

Step 21