Trigonometría Ejemplos

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

Step 1

Resta $\sqrt{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Step 2

Factoriza $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ .

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Reordena los términos.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Step 4

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Resuelve $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ en $x$ .

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Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Divide cada término en $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Suma $\frac{2 π}{3}$ y $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{4 π}{3} + 0$

Suma $\frac{4 π}{3}$ y $0$ .

$\frac{4 π}{3}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

Simplifica.

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Multiplica $2 π (0)$ .

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Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

Suma $\frac{7 π}{4}$ y $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$