Trigonometría Ejemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 34 ° \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Step 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Step 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Step 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(34 °)}^{2} + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot 23 \cos (90 °)}$

Step 4

Simplifica los resultados.

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Eleva $34 °$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{1156 + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Eleva $23$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Multiplica $- 2 \cdot 34 ° \cdot 23$ .

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Multiplica $- 2$ por $34 °$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 68 \cdot (23 \cos (90 °))}$

Multiplica $- 68$ por $23$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cos (90 °)}$

El valor exacto de $\cos (90 °)$ es $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cdot 0}$

Multiplica $- 1564$ por $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 + 0}$

Suma $1156 + 529$ y $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529}$

Suma $1156$ y $529$ .

$c = \sqrt{1685}$

Step 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Step 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{34 °} = \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Step 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $34 °$ .

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $34 °$ .

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Cancela el factor común.

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$ .

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El valor exacto de $\sin (90 °)$ es $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{1}{\sqrt{1685}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ por $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° (\frac{1}{\sqrt{1685}} \cdot \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ por $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685} \sqrt{1685}}$

Eleva $\sqrt{1685}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} \sqrt{1685}}$

Eleva $\sqrt{1685}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} {\sqrt{1685}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{1685}}^{2}$ como $1685$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1685}$ como $1685^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{(1685^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685}$

Combina $34 °$ y $\frac{\sqrt{1685}}{1685}$ .

$\sin (A) = \frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$ .

$A = 55.92280471$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 55.92280471$

Resta $55.92280471$ de $180$ .

$A = 124.07719528$

La solución a la ecuación $A = 55.92280471$ .

$A = 55.92280471, 124.07719528$

Excluye el ángulo no válido.

$A = 55.92280471$

Step 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$55.92280471 + 90 ° + B = 180$

Step 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Suma $55.92280471$ y $90 °$ .

$145.92280471 + B = 180$

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $145.92280471$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 145.92280471$

Resta $145.92280471$ de $180$ .

$B = 34.07719528$

Step 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 55.92280471$

$B = 34.07719528$

$C = 90 °$

$a = 34 °$

$b = 23$

$c = \sqrt{1685}$