Trigonometría Ejemplos

$\sin (\tan^{-1} (u) + \sin^{-1} (v))$

Step 1

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$\sin (\tan^{-1} (u)) \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Step 2

Simplifica los términos.

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Simplifica cada término.

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Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, u)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\tan^{-1} (u)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, u)$ . Por lo tanto, $\sin (\tan^{-1} (u))$ es $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Multiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Reescribe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Reescribe la expresión.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Simplifica.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ , $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\sin^{-1} (v)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ . Por lo tanto, $\cos (\sin^{-1} (v))$ es $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = v$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Multiplica $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

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Combina $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ y $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, u)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\tan^{-1} (u)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, u)$ . Por lo tanto, $\cos (\tan^{-1} (u))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Reescribe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Reescribe la expresión.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Simplifica.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v$

Combina $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ y $v$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})} + \sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$