Trigonometría Ejemplos

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

Step 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

Step 2

Divide cada término en $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ por $- 9$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 9$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Divide $900$ por $- 9$ .

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

Step 3

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

Step 4

Simplifica $\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ .

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Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Reescribe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Simplifica la expresión.

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Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Reordena $- 10^{2}$ y ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{3}$ y $b = 10$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Combina $10$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Multiplica $10$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

Combina $- 10$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

Multiplica $\frac{x + 30}{3}$ por $\frac{x - 30}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

Reescribe $\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 30) (x - 30)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Step 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

Step 6

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

Step 7

Resuelve $x$

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Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

Establece $x + 30$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 30$ igual a $0$ .

$x + 30 = 0$

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 30$

Establece $x - 30$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 30$ igual a $0$ .

$x - 30 = 0$

Suma $30$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 30$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ verdadera.

$x = - 30, 30$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < - 30$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x < - 30$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 32$

Reemplaza $x$ con $- 32$ en la desigualdad original.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

$124$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $- 30 < x < 30$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $- 30 < x < 30$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

$- 900$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $x > 30$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x > 30$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 32$

Reemplaza $x$ con $32$ en la desigualdad original.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

$124$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 30$ Verdadero

$- 30 < x < 30$ Falso

$x > 30$ Verdadero

$x < - 30$ Verdadero

$- 30 < x < 30$ Falso

$x > 30$ Verdadero

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 30$ o $x \geq 30$

Step 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Step 9

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Step 10

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 11