Trigonometría Ejemplos

$\sec (\frac{5 θ}{4}) = 2$

Step 1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la secante.

$\frac{5 θ}{4} = arcsec (2)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{5 θ}{4} = \frac{π}{3}$

Step 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Step 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Cancela el factor común de $5$ .

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Factoriza $5$ de $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{5 \cdot 3}$

Multiplica $5$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{15}$

Step 5

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{5 θ}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 6

Resuelve $θ$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Cancela el factor común de $5$ .

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Factoriza $5$ de $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Simplifica los términos.

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Cancela el factor común de $5$ .

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Factoriza $5$ de $5 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (π)}{3}$

Cancela el factor común.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Reescribe la expresión.

$θ = 4 \frac{π}{3}$

Combina $4$ y $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Step 7

Obtén el período de $\sec (\frac{5 θ}{4})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{5}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

$\frac{5}{4}$ es aproximadamente $1.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{4}{5}$

Multiplica $2 π \frac{4}{5}$ .

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Combina $\frac{4}{5}$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Combina $\frac{8}{5}$ y $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Step 8

El período de la función $\sec (\frac{5 θ}{4})$ es $\frac{8 π}{5}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{8 π}{5}$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{4 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{4 π}{3} + \frac{8 π n}{5}$ , para cualquier número entero $n$