Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Simplifica el lado izquierdo.

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Combina $\frac{1}{2}$ y $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Simplifica.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Reescribe la expresión.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $(x + 3) \cdot 2$ .

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Aplica la propiedad distributiva.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Simplifica la expresión.

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Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Resuelve $y$

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Resta la inversa del arcocoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcocoseno.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Divide cada término en $π y = \cos (2 x + 6)$ por $π$ y simplifica.

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Divide cada término en $π y = \cos (2 x + 6)$ por $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Simplifica el numerador.

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Simplifica cada término.

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Combina $\frac{1}{2}$ y $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Combina los términos opuestos en $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

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Suma $- 6$ y $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Suma $\arccos (π x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Simplifica cada término.

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Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$